d-分离与条件独立

层级：C｜建议先修：05-05、08-02

d-分离是一套只看 DAG 结构就判断条件独立关系的规则。它把“路径是否传递统计关联”转化为图上的阻断问题。

1. 先复习条件独立

随机变量 $X,Y$ 在给定 $Z$ 后条件独立，记为

X\perp Y\mid Z,

其含义是

p(x,y\mid z)=p(x\mid z)p(y\mid z)

或等价地 $p(x\mid y,z)=p(x\mid z)$ 。知道 $Z$ 后， $Y$ 不再给 $X$ 提供额外信息。

判断 d-分离时，首先在 DAG 的骨架上寻找两组节点之间的所有路径。然后根据路径上的局部箭头结构和已观测集合 $Z$ ，判断每条路径是否被阻断。

只有所有路径都被阻断，才称两组节点被 $Z$ d-分离。

X\to M\to Y \quad\text{或}\quad X\leftarrow M\leftarrow Y.

不观测 $M$ 时路径开放， $X,Y$ 可能相关；给定 $M$ 后路径被阻断：

X\perp Y\mid M.

直觉是 $M$ 已经传递了上游对下游的全部影响。

X\leftarrow M\to Y.

$M$ 是共同原因。不观测 $M$ 时 $X,Y$ 可能相关；给定 $M$ 后路径被阻断。例子：天气同时影响冰淇淋销量和游泳人数。

X\to M\leftarrow Y.

$M$ 是对撞点。规则与前两者相反：

例子：能力和运气都可能导致录用。若只看已录用者，能力较低者往往需要更好运气，二者在条件化后产生关联。这称为解释消除或选择偏差。

给定观测集合 $Z$ ，一条路径是开放的，当且仅当：

若不满足，路径被阻断。集合 $X,Y$ 被 $Z$ d-分离，记为

X\perp_GY\mid Z.

若分布 $p$ 对 DAG $G$ 满足 Markov 性质，则

X\perp_GY\mid Z \quad\Longrightarrow\quad X\perp_pY\mid Z.

这是可靠性（soundness）。反过来，某个具体参数分布可能因参数巧合产生图中没有编码的额外独立。若分布与图忠实（faithful），概率独立关系才与 d-分离完全对应。

大型图中逐条枚举路径代价很高。Bayes-ball 算法根据球从父方向或子方向到达节点、节点是否被观测，决定继续向哪些方向传播，从而高效判断 d-连通。

核心仍是：观测非对撞点会挡球；未观测对撞点通常挡球，但观测对撞点或其后代会改变传播规则。

Bayesian 网络中节点 $X$ 的 Markov blanket 由以下节点组成：

给定 Markov blanket 后， $X$ 与网络其余节点条件独立。这使局部推断、Gibbs 采样和特征筛选成为可能。

观察 $X=x$ 是条件概率 $p(y\mid x)$ ；干预 $do(X=x)$ 则切断指向 $X$ 的入边，再考察系统。d-分离可扩展到干预后的图，但普通条件化不能自动解释为因果效应。

Q1：为什么观察共同结果会让两个原因相关？
结果固定后，一个原因不足就需要另一个原因补偿；条件化限制了可行组合，从而产生依赖。

Q2：路径上有多个对撞点怎么办？
每个对撞点都必须被自身或后代的观测激活，同时所有非对撞点都不能被观测，整条路径才开放。

Q3：没有边是否意味着条件独立？
不直接意味着。需找出两点之间所有路径，并给出使它们全部阻断的条件集合。

Q4：d-分离能证明因果关系吗？
不能单独证明。它在给定因果 DAG 时帮助推导观察或干预分布中的独立关系，但图本身仍需领域知识或可识别假设支持。